دسته: آمار

مشخص کردن تابع

اگر دامنه X تعريف شده باشد، تابع f را مي‌توان با جدول‌بندي کردن آرگومان‌هاي x و جواب آنها در f(x) تعريف کرد.

چيزي که براي تعريف کردن تابع رايج‌تر است استفاده از فرمول و به طور کلي استفاده از الگوريتم است، که در آن نشان داده مي‌شود چه عملياتي بايد بر روي xهاي دامنه انجام گيرد تا f(x) به دست آيد. براي تعريف يک تابع مي‌توان از عمل رياضي که با آرگومان x رابطه‌اي داشته باشد استفاده کرد. البته راه‌هاي زياد ديگري براي تعريف يک تابع وجود دارد؛ از جمله استفاده از روش بازگشتي، استفاده از بسط‌هاي تجزيه و عبارات جبري، حدها، دنباله‌ها، سري‌ها و استفاده از معادلات ديفرانسيل.

در رياضيات توابع زيادي وجود دارد که نمي‌توانند مفهوم خود را به طور دقيق برسانند. يکي از نتايج اصلي نظريه شمارش اين است که توابع زيادي وجود دارند که تعريف مي‌شوند اما قابل محاسبه نيستند.

علامت تابع

معمولاً پرانتزهاي کنار آرگومان را هنگامي که براي آن ابهامي وجود ندارد حذف مي‌کنند، مانند: sin x. در برخي موارد علمي، از علامت نشان‌گذاري لهستاني معکوس استفاده مي‌شود، که با اين کار بايد پرانتزها را حذف کرد؛ و براي مثال تابع فاکتوريل همواره به صورت n! نوشته مي‌شود، در حالي که اکثر افراد تابع گاما را به صورت (Γ(n مي‌نويسند.

براي نشان دادن يک تابع ابتدا نام آن را مي‌آوريم، سپس دامنه، بعد برد و در انتها هم ضابطه تابع را مي‌نويسيم. با استفاده از اين روش اغلب تابع به دو قسمت نشان داده مي‌شود، مانند:

در اينجا دامنه تابع با نام «f» اعداد طبيعي و برد آن اعداد حقيقي است، و n را به خودش تقسيم بر π تبديل مي‌کند. (در بعضي موارد نام تابع را به همراه دونقطه، در بالاي پيکان مي‌آورند). روش نشان دادن ديگري هم وجود دارد که رايج‌تر اما غيرعلمي‌تر است، در اين روش تابع به شکل کوتاه‌ شده زير نشان داده مي‌شود:

سرگذشت رياضي 

انسان اوليه نسبت به اعداد بيگانه بود و شمارش اشياء اطراف خود را به حسب غريزه يعني همانطور که مثلاً مرغ خانگي تعداد جوجه‌هايش را مي‌داند انجام مي‌داد. اما بزودي مجبور شد وسيلة شمارش دقيقتري بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماري پديد آورد که مبناي آن 60 بود. اين دستگاه شمار که بسيار پيچيده مي‌باشد قديمي‌ترين دستگاه شماري است که آثاري از آن در کهن‌ترين مدارک موجود يعني نوشته‌هاي سومري مشاهده مي‌شود.

 سومريها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از ميلاد مسيح است در جنوب بين‌النهرين، يعني ناحيه بين دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از ميلاد با امپراطوري سامي، عکاد متحد شدند و امپراطوري و تمدن آشوري را پديد آوردند. 

 در اين موقع مصريها نيز در سواحل سفلاي رود نيل تمدني درخشان پديد آورده بودند. طغيان رود نيل هر سال حدود و ثغور زمينهاي زراعتي اين قوم را محو مي‌کرد. احتياج به تقسيم مجدد اين اراضي موجب رهبري آنها به اولين احکام سادة هندسي گرديد. همچنين مبادلات تجارتي و تعيين مقدار باج و خراج ساليانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود اين اطلاعات همگي از روي پاپيروسها و الواحي است که در نتيجه حفاريها بدست آمده و به خط هيروگليفي مي‌باشد. قديمي‌ترين آنها که مربوط به 1800 سال قبل از ميلاد است شامل چند رساله دربارة علم حساب و مسائل حساب مقدماتي مي‌باشد، از آن جمله رسالة پاپيروس آهس است که درسال 1868 توسط ايسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. ساير تمدنهاي شرقي نظير چيني و هندي در ترويج دانش نقش مؤثري نداشته‌اند و جز برخي نتايج پراکنده که در زير فشار مفاهيم ماوراءالطبيعه خرد شده است چيزي از آنان در دست نيست. 

قريب هزار سال پس از نابودي فرهنگ قديم مصر و محو تمدن آَشور، يونانيان از روي مقدمات پراکنده و بي‌شکل آنها علمي پديد آوردند که در واقع به عاليترين وجه مرتب و منظم گرديده و عقل و منطق را کاملاً اقناع مي‌نمود. نخستين دانشمند معروف يوناني طالس ملطلي (639_548ق.م) است که در پيدايش علوم نقش مهمي بعهده داشته و مي‌توان ويرا موجد علوم فيزيک ، نجوم و هندسه «تشابه» به او کاملاً بي‌اساس است.در اوايل قرن ششم ق.م. فيثاغورث (572_500 قبل از ميلاد) از اهالي ساموس يونان کم‌کم رياضيات را بر پايه و اساسي قرار داد و به ايجاد مکتب فلسفي خويش همت گماشت. فيثاغورثيان عدد را بخاطر هم‌آهنگي و نظمي که دارد اساس ومبدأ همه چيز مي‌پنداشتند و بر اين عقيده بودند که تمام مفاهيم را به کمک آن مي‌توان بيان نمود. 

اطلاعات خام.

فراواني مربوط به دسته بندي استانها بر اساس تعداد جمعيت استانها در سال 1381

جدول و نمودار مربوط به زنان و مردان

جدول و نمودار مربوط به مردان

جدول و نمودار مربوط به زنان

جدول و نمودار مربوط به شهر

جدول و نمودار مربوط به روستا

نتيجه و در صد گيري

فراواني مربوط به دسته بندي استانها بر اساس تعداد جمعيت استانها در سال 1382

جدول و نمودار مربوط به زنان و مردان

جدول و نمودار مربوط به مردان

جدول و نمودار مربوط به زنان

جدول و نمودار مربوط به شهر

جدول و نمودار مربوط به روستا

نتيجه و در صد گيري

منابع

مقدمه :

  دانستن ميزان رشد جمعيت وبرآورد جمعيت و كنترل آن  در هر كشوري اهميت  بسزايي را داراست . از اين رو ابتدا بايد از ميزان دقيق رشد جمعيت  مطلع بود تا با توجه به آن   بتوان برآورد جمعيت درست كشور را داشت و بتوان رشد جمعيت را در سطح مناسب نگاه داشت.

آمار گيري در اين پروژه بر اساس آمارگيري سالهاي اخیر از بر آورد جمعيت در استانهاي مختلف كشور صورت گرفته است. در اين پروژه با استفاده از اطلاعات خام اوليه كه همان جداول برآورد جمعيت استانهاي كشور است جداول و نمودارهايي محاسبه شده اند و در پايان هر بخش نتيجه گيري از آن گرفته شده است.

شايان ذكر است اعداد اعشاري براي سهولت در محاسبات گرد شده اند و نيز مقادير عددي با فاصله بسيار زياد با دادهاي قبل از خود بي دليل مشكل ايجاد كردن در جداول فراواني  ار محاسبات حذف شده اند.

كلمه  AIDS مخفف كلمات Acquired  Immune  Dificiency  Syndrom يا سندرم نارسايي ايمني اكتسابي است .اين بيماري يك بيماري ويروسي است كه از طريق مقاربت جنسي ،تزريق خون آلوده به افراد يا فرو رفتن سوزن آلوده به خون بيمار به بدن سالم و يا از راه مادر به جنين منتقل مي شود .

علائم بيماري در ابتداي ابتلا به آن شبيه يك سرماخوردگي معمولي است كه پس از مدت بهبود مي يابد و ممكن است بيماري اصلي سالها نهفته و خاموش بماند پس از گذشت 7 تا 10 سال بروز نمايد.

علائم بيماري در مرحله حاد شامل ضعف عمومي و شديد ،بي اشتهايي مفرط ، احساس خستگي شديد و بالاخص بروز عفونت هاي مكرر به ويژه عفونت هاي تنفسي شديد و خطر ناك است كه نهايتاً با تحليل و از بين رفتن سيستم ايمني بدن به علت تهاجم ويروس ايدز فرد از بين خواهد رفت براي پيشگيري از اين بيماري  رعايت موازين اخلاقي در رفتار جنسي ، عدم استفاده از سرنگ استفاده شده توسط ديگران الزامي است بهترين راه پيشگيري از بيماري است .

مقدمه 

در سالهاي اخير آمارشناسان به طور زياد روش‌هاي الگوريتم مونت كارلوي زنجير ماركوفي (MCMC) را رسم كرده‌اند. الگوريتم نمونه‌گيري گيبر يكي از بهترين روش‌هاي شناخته شده است براي آشنايي با شرايط مسأله فرض كنيد در بردار تصادفي ( ) براي محاسبه چگالي كناري x ، با مشكل روبرو هستيم اما چگالي‌هاي شرطي    و    و … در دسترس مي‌باشند. در روش نمونه‌گيري گيبس مشاهداتي به صورت غيرمستقيم ازx توليد مي‌شود و به كمك آنها چگالي كناري x را بررسي مي‌كنيم. 

حالا توجه قابل ملاحظه‌اي به الگوريتم متروپوليس- هستينگس  تخصيص داده شده است كه توسط متروپوليس و روسنبلوس ، تلر  (1953) گسترش و بعداً توسط هستينگس (1970) نظم داده شده است. الگوريتم M-H به طور زياد در فيزيك كاربرد دارد و هنوز با وجود مقاله‌اي كه توسط هستينگس ارائه شده است، به طور خيلي كم براي آمارشناسان شناخته شده است. 

به دليل سودمندي الگوريتم M-H ، كاربردهاي آن به طور مداوم ظاهر مي‌شود. براي مثال‌هاي جديد مولر  (1993)، چيب وگريبزگ    (1994) و فيليپس و اسميت  (1994) را ببينيد. 

ما مقدمه‌اي را از اين الگوريتم تهيه كرده‌ايم كه از اصول اوليه آن مشتق شده است اين مقاله به تنهايي مربوط به تئوري زنجير ماركوف است. مطالب مربوط به اين مقاله چنان كه در پايين مي‌آيد به بحث گذاشته مي‌شود. در بخش 2،‌ ما به طور خلاصه مشابه روش‌پذيرش- رد كردني را مرور مي‌كنيم. اگر چه MCMC نيست ولي بعضي از تفسيرهايي كه در الگوريتم متروپوليس- هستينگس ظاهر مي‌شود را به كار مي‌برد و اين مقدمه اي خوب براي اين موضوع است. بخش 3 ارتباط تئوري زنجير ماركوف به فضاي وضعيت دائم را معرفي مي‌كند كه با فلسفه كلي كه در پشت روش MCMC است همراه مي‌شود. در بخش 4 الگوريتم M-H  را نتيجه مي‌گيريم و بخش 5 شامل مقالاتي مي‌شود كه با انتخاب چگالي كانديدي- توليدي در ارتباط هستند. 

مسائل بهینه سازی :

در مسائل بهینه سازی وسیله ای (ابزاری) که بدنبال بیشینه سازی یا کمینه سازی یک مقدار مشخص می باشد تابع هدف نامیده می شود که به .. تعداد متغیرهای ورودی بستگی دارد. این متغیرها می توانند مستقل از یکدیگر باشند یا بوسیله یک یا تعدادی محدودیت با ایکدیگر ارتباط داشته باشند.

با یک مثال موضوع را کمی روشنتر خواهیم نمود: 

مثال 1.1 :   

نمونه بالا یک مسئله بهینه سازی برای هدف z می باشد. متغیرهای ورودی شامل x1 و x2 می باشند که به دو طریق محدود شده اند. x1  می بایست شود به x2  بوسیله عدد 3. و همچنین x2 می بایست بزرگتر یا مساوی 2 باشد. هدف یافتن مقادیری از  متغیرهای ورودی بگونه ای است که جمع توان متغیرها کمینه شوند، با در نظر گرفتن محدودیتهایی که بوسیله قیود در نظر گرفته می شوند. یک برنامه ریزی مسئله بهینه سازی است که در آن هدف و محدودیت ها بوسیله توابع ریاضی و ارتباطات ریاضی داده می شوند (مانند مثال 1.1) .

مدل ریاضی که در این کتاب مورد استفاده قرار می گیرد به فرم زیر می باشد : 

هر یک از m محدودیت هایی که 1.1 نشان داده شده اند شامل یکی از سه حالت  =  می شوند. بدین سان برنامه ریاضی نامحدودیت زمانی تشکیل می شود که هر یک از توابع gi صفر در نظر گرفته شوند وهر یک از مقادیر ثابت bi نیز صفر در نظر گرفته شوند.

برنامه ریزی خطی : 

یک برنامه ریاضی خطی است اگر تابع هدف f(x1,x2,….,xn) و نیز هر یک از محدودیتها gi(x1,x2,…..,xn) به ازای (I = 1 , …. ,m ) در ضابطه خودشان خطی باشند 

آزمونهاي دونمونه اي 

درمطالعات تجربي، شبه تجربي كه درآنها عملكرد متغير موردمطالعه درشرايط متفاوت باهم مقايه مي‌شوند طبيعت پرسش درمورد معني دار بودن تفاوت درميانگين، پيش مي‌آيد. درچنين شرايطي به ندرت پرسش درموردطبيعت اطلاعات مطرح مي‌شود. چرا كه درمطالعات تجربي واقعي داده‌ها معمولاً حالت كلي به خود مي‌گيرند. فرض كنيد دريك مطالعه ساده تجربي درمورد يك داردكارايي آن دردوحالت متفاوت (گروه آزمايش و گروه شاهد) اندازه گيري شده است. ميانگين‌هاممكن است ه طورقابل توجهي با هم تفاوت داشته باشند. آيا اگر مطالعه مجدداً تكرار شود. تفاوتهاي مشابهي به وقت مي‌آيد؟ اينجاست كه يك محقق مي‌خواهد معني دار بودن آماري تفاوت ميانگين‌هابين دو گروه، آزمايش و شاهد را آزمايش كند.

روشهاي پارامتري

در بيشتر مدلهايي كه براي شيوه‌هاي استنباطي موردبحث قرارمي‌گيرد به طورتجربي ساختار معيني را دربارة توزيع جامعه فرض مي‌كنند، رفتار آزمونها همه برمبناي اين فرضا هستند كه اندازه‌هاي پاسخ، نمونه‌هايي از جامعه‌هاي نرمال تشكيل مي‌دهند. اين شيوه‌ها براي ساختن استنباطهايي دربارة مقادير پارامترهاي  طرحريزي شده اند كه وقتي مجاز به استفاده از منحني جامعه نرمال هستيم به كار مي‌روند. به طوركلي، اينها را شيوه‌هاي استنباط پارامترهاي نظريه نرمال مي‌نامند.

نمونه‌هاي مستقل (واريانس نامعلوم)

وقتي هدف انجام مقايسه اي بين دوجامعه يا دو گروه است وضعيتي را بررسي مي‌كنيم كه درآن داده‌هابه شكل نمونه‌هاي تصادفي به حجم   از جامعه 1 و به حجم   از جامعه 2 تحقق يافته‌اند

1) در آينه تختي زاويه اي كه بين پرتو تابش و پرتو بازتابش ايجاد مي شود 4 برابر زاويه‌اي است كه پرتو تابش با آينه مي سازد در اين حالت زاويه تابش چند درجه است؟ (SR83)

1) 30 2) 45 3) 60 4) 72

2- جسمي به طول L1 در فاصله d1 از يك آينه محدب قرار دارد. تصويرش به طول L2 در فاصله d2 از آينه تشكيل شده است. در اين مورد از نظر اندازه، كدام رابطه درست است؟ (SR83)

1)  2)  

3)  4) وابسته باندازهd1 هركدام ميتواند درست باشد.

3- مي خواهيم تصوير يك جسم در يك آينه كاو كوچكتر از خود جسم شود. براي اين منظور كدام رابطه بايد بين فاصله جسم تا آينه (P) و فاصله كانوني آينه (f) برقرار باشد؟ (SR83)

1)  2)  3)  4)  

4- فاصله يك شي از عدسي واگرايي 4 برابر فاصله كانوني عدسي است. دراين صورت طول شي چند برابر طول تصوير است؟ (SR83)

1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

روش تحقيق:

به معناي كلي پژوهش را مي توان  جستجوي نطام يافته اي به منظور كشف حقايق و ارزيابي فرضيه ها تعريف كرد. مجموعه قواعدي كه براي كشف حقايق ارزيابي يك فرضيه درعلوم مختلف بكاربرده مي شوند را روش تحقيق آن علم مي ناميم. درتحقيق هاي تجربي كه با استفاده از تكرار آزمايشها يا جمع آوري اطلاعات انجام مي گيرد، اصولاً مراحل زير مطرح هستند.

1- احساس درمورد يك پديده و مشاهده اطلاعات

2- ساختن فرضيه

3- آزمايش و جمع آوري اطلاعات

4- نتيجه گيري پس از تحليل اطلاعات

ركن اساسي يك تحقيق تجربي آزمايش، مشاهده و نتيجه گيري است كه علم آمار وسيله انجام اين مهم بوده و طرح و تجزيه آزمايشها يك روش كليدي براي آن بحساب مي آيد.

معرفي چند واژه

1- آزمايش (experiment) هرعملي كه منجر به جمع آوري اطلاعات گردد يك آزمايش ناميده مي شود. دراجراي آزمايش دراصل اسامي بايستي مدنظر باشد.

1- 1- تكرارپذيري (Replication) منظور از تكرارپذيري تهيه مشاهدات متعدد درامتحان واحدهاي آزمايشي است. تكرار دوخاصيت مهم دارد. اول اينكه پژوهشگر را قادر مي سازد كه برآوردي براي خطاي آزمايشي به دست آورد. اين برآورد خطا مبناي واحد اندازه گيري درتعيين معني دار بودن اختلافات مشاهده شده در داده هاست وقتي مي گوييم اختلاف معني داراست اين بدان معناست كه اختلاف از آن حدي كه خطاهاي نمونه گيري و خطاهاي آزمايش مي توانند ايجاد كنند تجاوز كرده است و بنابراين نمي تواند معلول خطا باشد. دومين خاصيت مهم تكرار آن است كه مثلاً اگر براي برآورد اثر سطحي از يك عامل، از ميانگين نمونه استفاده كنيم آنگاه تكرار موجب برآورد دقيقتري براي آن اثر است.

1-2- تصادفي بودن نيتجه (Randomness) منظور از تصادفي بودن نتيجه آن است كه تخصيص تيماريها به واحدهاي آزمايشي، ترتيبي كه مطابق آن آزمايشها انجام مي شوند به تصادف تعيين شوند. دراستفاده از روشهاي آماري لازم است كه مشاهدات متغيرهاي تصادفي مستقل و همتوزيع باشند. تصادفي كردن معمولاً به اين پذيره اعتبار مي دهد. تصادفي كردن به خارج كردن «متوسط» اثرهاي عوامل خارجي كه مي توانند دخيل باشند نيز كمك مي كند.

2- طرح آزمايشي experimental.Design 

طرح آزمايش عبارتست از الگوي عمل براي انجام يك آزمايش، بطوريكه بتوان با استفاده از مشاهدات و روشهاي آماري نتيجه گيري معتبر بعمل آ‌ورد.