دسته: ریاضیات

يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي (يا نسبي) براي يك تابع   رابطهاي است كه بين تابع مجهول u و متغيرهاي مستقل آن (به تعداد متنابهي) و مشتقات جزئي تابع u نسبت به متغيرهاي مستقل آن برقرار ميباشد. تابع u را جوابي براي معادله ديفرانسيل فوق ميناميم هرگاه پس لز جايگزيني u(x,y,…) و مشتقات جزئي آن، اين معادله ديفرانسيل نسبت به متغيرهاي مستقل مذكور، درناحيه   اي از فضاي اين متغيرهاي مستقل تبديل به يك اتحاد شود.

مرتبة يك معادلة ديفرانسيل با مشتقات جزئي بالاترين مرتبة مشتقات موجود در آن معادله است. مثلاً uuxy+uyux=f(x,y) يك معادله ديفرانسيل مرتبه دوم است. در اينجا    و   و  

يك معادلعه ديفرانسيل با مشتقات جزئي را خطي  گوئين هرگاه اين معادله نسبت به تابع مجهول و مشتقات آن، با ضرايبي كه فقط تابع متغيرهاي مستقل هستند، خطي باشد. يك معادله با مشتقات جرئي از مرتبه m را شبه خطي  گوئيم هرگاه اين معادله نسبت به مشتقات جزئي مرتبه mام تابع مجهول، با ضرايبي كه فقط تابع متغيرهاي مستقل u و مشتقات از مرتبه كمتر از m هستند، خطي باشد (مانند مثال بالا) يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي خطي يك حالت خاص معادله شبه خطي است.

2- معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه اول

معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه اول خطي با ضرايب ثابت

به عنوان گام نخست معادلع ديفرانسيل  (2-1) aux+buy+cu=f(xy) را درنظر ميگيريم، كه در آن تابع f داده شده و ضرايب ثابتاند. سعي ميكنيم با تغيير متغيرهاي ساده مانند (2-2)  x=ay+a1 و  y=by+b1 معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي (2-1) را به معادله ديفرانسيل ) uy+cu=f(ay+a1 , by +b1 تبديل كنيم كه مانند يك معادله ديفرانسيل معمولي خطي مرتبه اول با ضرايب ثابت نسبت به متغير مستقل y حل ميشود، منتها ثابت انتگرالگيري تابع دلخواهي از   خواهد بود. بعد از حل بجاي y و   برحسب x و y جانشين ميكنيم تا جواب u(x,y) حاصل شود البته لازمه اين كار آنست كه دترميبنال ضرايب تغيير متغيرهاي (2-C) غيرصفر باشد، سعني مستقل بودن اين متغيرها تضمين شود (اين دترمينال ژاكوبي تغيير متغيرها است)

مثال ا

قضيه زير يك روش حل معادله با مشتقات جزئي مرتبه اول شبه خطي را پيش روي ما ميگذارد كه فعلاً از بيان آن خودداري ميكنيم.

وقتی تلاش برای ساده تر کردن راه حل این مساله به جایی نرسیده ریاضیدانان تصمیم گرفتند از پیچیدگی این مساله برای ساختن روش های رمز نگاری استفاده کنند. حالا، کمتر از ۳۰ سال از آغاز این تلاش، امنیت پیچیده ترین و امن ترین سیستم های رمزنگاری عالم وابسته به سختی تجزیه اعداد بزرگ است و امن تر کردن این روش ها بخش عمده ای از وقت نظریه اعداد دان های دنیا را پر می کند. جالب است بدانید بزرگ ترین استخدام کننده ریاضیدان ها در دنیا آژانس ملی امنیت ایالات متحده آمریکاست که بیشتر نظریه اعداددان‌ها را استخدام می کند. شاید دیگر کمتر نظریه اعداددانی مایل به حل کردن مساله تجزیه اعداد بزرگ باشد.

در واقع بايد اعتراف کرد که اويلر کاشف يا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردي بنام جان نپر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامي که روي لگاريتم بررسي مي کرده است بحث مربوط به پايه طبيعي لگاريتم را به ميان کشيده است. فراموش نکنيد که شواهد نشان ميدهد حتي در قرن هشتم ميلادي هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشته اند.

سال ها پيش در يكي از كلاس هاي رياضيات مدارس آلمان، آموزگار براي اينكه مدتي بچه ها را سرگرم كند و به كارش برسد؛ از آنها خواست تا مجموع اعداد از يك تا صد را حساب كنند. پس از چند دقيقه يكي از شاگردان كلاس گفت: مجموع اين اعداد را پيدا كرده و حاصل عدد ۵۰۵۰ مي شود. با شنيدن اين عدد معلم با حيرت فراوان او را به پاي تخته برد تا روش محاسبه خود را توضيح دهد. به نظر شما اين شاگرد باهوش كه بعدها يكي از بزرگ ترين و معروف ترين رياضيدانان دنيا شد، چه روشي را به كار بست؟ او اعداد يك تا صد را به رديف پشت سرهم نوشت، سپس بار ديگر همين اعداد را بالعكس، اين بار از صدتا يك، درست در رديف زيرين اعداد قبلي نوشت. طوري كه هر عدد زير عدد رديف بالاتر قرار گرفت.وي مشاهده كرد كه مجموع هر كدام از ستون هاي به وجود آمده ۱۰۱ است. سپس نتيجه گرفت كه صد تا عدد ۱۰۱ داريم كه حاصل مجموع آنها مي شود ۱۰۱۰۰=۱۰۱*۱۰۰. پس از آن تنها كافي بود كه اين مجموع به دست آمده نصف شود يعني:

۵۰۵۰=۲/۱۰۱۰۰

شايد «شارل فردريك گاوس» شاگرد با ذكاوت كلاس كه اين روش جالب را به كاربرد، آن هنگام نمي دانست، روش بسيار كارا و مفيدي را براي جمع بستن رشته اي از اعداد ارائه داده است كه تا ساليان سال مورد استفاده رياضيدانان خواهد بود.اكثر مفاهيم رياضي به قدري با زندگي روزمره ما گره خورده است كه تمام مردم بدون آگاهي داشتن و واقف بودن به آن، از كنارش مي گذرند و تنها كاربر خوبي  هستند و بس! حتماً تا به حال با اين عبارات در راديو، تلويزيون يا موارد مختلف ديگر برخورد كرده ايد: «وزارت آب و يا وزارت نيرو اعلام كرده است كه ميزان پرداختي قبض ها به صورت تصاعدي بالا مي رود و از مصرف كنندگان تقاضا نمود كه نهايت صرفه جويي را درمصرف آن داشته باشند.» حتماً در بيشتر موارد نيز از اينكه هزينه مصرف آب يا برق شما بسيار گران شده است گله مند و شاكي بوده ايد و بسيار تعجب كرده و يا شايد هم فكر كرد ه ايد كه اشتباهي رخ داده است! اما در واقع اين چنين نبوده است. بلكه اين وزارتخانه ها و جاهاي ديگر از اين قبيل با به كار بردن يك مفهوم ساده رياضي كه از روابط جالب بين اعداد نشات مي گيرد، تلاش نموده اند با اين روش اندكي از مصرف سرانه انرژي هاي مفيد در كشور بكاهند. بسياري از رشته هاي اعداد در رياضيات از قاعده و قانون خاصي پيروي مي كنند. بدين صورت كه مثلاً هر عدد نسبت به عدد قبلي خود به اندازه ثابتي كاهش يا افزايش مي يابد، به اين رشته از اعداد تصاعد «عددي» (حسابي) گويند. براي مثال در رشته اعداد ۱، ۴، ۷، ۱۰، ۱۳ و … هر عدد نسبت به عدد قبلي خود سه واحد بيشتر است. حال رشته اي از اعداد را در نظر بگيريد كه در آن هر عدد نسبت به عدد ماقبل خود به اندازه توان هايي از يك عدد ثابت افزايش يا كاهش يافته باشد. به اين رشته از اعداد تصاعد «هندسي» گويند

مقدمه

فصل اول : طرح تحقيق

بيان مسأله

ضرورت تحقيق

اهداف تحقيق

تعريف اصطلاحات و متغيرها

تعريف نظري راهبردهاي حل مسأله

تعريف عملياتي راهبردهاي حل مسأله

متغيرهاي تحقيق

متغير مستقل

تعريف نظري نگرش (متغير وابسته اول)

فصل دوم پيشينه و زمينه هاي نظري پژوهش

حل مسئله و انتقال يادگيري

رابطه بين تفكر انتقادي و حل مسئله

حل مسئله از ديدگاه رفتارگرايي

مراحل آموزش حل مسئله (الگوي دي چكووكرافورد)

پيشنهادهايي براي افزايش توانائيهاي حل مسئله در يادگيرندگان

طرح جورج پوليا پيرامون حل مسئله

مباني نظري در زمينه نگرش

تعريف نگرش

الگوهاي شناختي تغيير نگرش

يافته‌هاي پژوهشي در داخل كشور

فصل سوم : روش تحقيق

روش تجزيه و تحليل داده‌ها

فصل چهارم : تحليل نتايج و بيان توصيفي يافته‌ها

آزمون همتاسازي

تجزيه و تحليل داده‌ها با استفاده از آمار استنباطي

فصل پنجم : بحث و نتيجه گيري

محدوديتهاي پژوهش

منابع و مآخذ

مقدمه:

يك كشف بزرگ سبب حل شدن يك مسأله بزرگ مي‌شود، ولي در حل هر مسئله حبه‌اي از اكتشاف وجود دارد. مسئله شخص ممكن است چندان پيچيده نباشد، ولي اگر كنجكاوي وي را برانگيزد و ملكه‌هاي اختراع و اكتشاف را در فرد به كار وادارد، و اگر آن را با وسايل و تدابير خود حل كند ممكن است از تنش و شادماني حاصل از پيروزي در اكتشاف شاد شود، چنين حال و تجربه‌اي در سالهاي تجربه‌پذيري مي‌تواند شوق و ذوقي براي كار عقلي و فكري پديد آورد و آثار خود را بر ذهن و روان و خصلت شخص در تمام عمر باقي گذارد (پوليا ، 1944، ترجمه آرام، 1377).

بنابراين، معلم رياضيات فرصت بزرگي در برابر خويش دارد. اگر وقت اختصاصي خود را به تمرين دادن شاگردان در عمليات پيش پا افتاده بگذراند، علاقه و دلبستگي آنان را مي‌كشد و مانع رشد و تعامل عقلي آنان مي‌شود و بايد گفت فرصتي را كه در اختيار داشته به صورت بدي صرف كرده است، ولي اگر كنجكاوي دانش‌آموزان را با مطرح كردن مسائلي متناسب با دانش و شناخت ايشان برانگيزد و در حل مسائل با طرح كردن پرسشهايي راهنما به ياري آنان برخيزد مي‌تواند ذوق و شوق و وسيله‌اي براي انديشيدن مستقل در وجود ايشان پديد آورد. 

در مقدمه كتاب رياضي سال دوم راهنمايي تأليف هيأت مؤلفان كتب درسي آمده است: درس رياضي يكي از درسهاي مهم و بنيادي است، در اين درس دانش‌آموزان روش درست انديشيدن را در حل مسائل فرا مي‌گيرند و با محاسبه‌هاي عددي مورد نياز در ساير درسها آشنا شده و كاربردهاي رياضي را در حل مسأله‌هاي روزمرة زندگي ياد مي‌گيرند. دانش‌آموزان عموما به اهميت رياضي واقفند و مي‌دانند داشتن پايه‌اي خوب در درس رياضي تا چه حد به پيشرفت آنها در ساير درسها كمك مي‌كند، اما اغلب نمي‌دانند كه درس رياضي را چگونه بايد آموخت (ص 4)

همچنانكه عنوان شد درس رياضي به عنوان يك درس پايه و مبنايي براي تعيين رشته‌هاي تحصيلي دوره متوسط جايگاهي ويژه را در دروس دوره راهنمايي و پس از آن به خود اختصاص داده است و حل مسأله در شمار وظايف اصلي دانش‌آموزان و پرحجم‌‌ترين تكليف درسي مي‌باشد و به اعتقاد پژوهشگران (ماير  و همكاران، لوئيس  و ماير، 1978) حل مسأله هسته اصلي برنامه درس رياضي محسوب مي‌شود (ماير و همكارن 1986 ترجمه فراهاني، 1376)

لذا پژوهش حاضر با بهره‌گيري از آموزه‌هاي روان‌شناسي تفكر حل مسئله و پيروي از رويكرد تجربي آموزش راهبردهاي حل مسأله رياضي (الگوي پوليا)، تأثير آن را بر نگرش و پيشرفت تحصيلي رياضيات در دانش‌آموزان سال دوم راهنمايي مورد نظر قرار داده است.

لذا اين بيان مكرر گفته شده كه لگاريتمهاي نپري لگاريتم هاي طبيعي هستند در واقع بي اساس است. مشاهده مي شود كه لگاريتم نپري با افزايش عدد، كاهش مي يابد. بر خلاف آنچه در مورد لگاريتم هاي طبيعي اتفاق مي افتد بعلاوه آشكار مي شود كه، در دوره هاي مساوي متوالي از زمان، y مطابق يك تصاعد هندسي كاهش پيدا مي كند در حالي كه x مطابق يك تصاعد حسابي افزايش مي يابد. 

بنابراين، اصل بيناني دستگاه لگاريتم ها يعني ارتباط بن يك تصاعد هندسي و يك تصاعد حسابي را داريم حال، براي مثال نتيجه مي شود كه اگر  آنگاه:

Naploga –Naplogb=Naplogc-Naplgd

كه يكي از نتايج متعددي است كه به وسيله ي نپر برقرار شده است.

نپر بحث خود درباري لگاريتم ها را رد 1413 در رساله اي تحت عنوان شرح قانون شگف انگيز لگاريتم ها منتشر كرد. اين اثر حاوي جدولي است كه لگاريتم سينوس زوايا را براي دقيقه هاي متوالي يك كمان مي دهد رساله شرح علاقه فوري و گسترده اي را بر انگيخت و در سال بعد از انتشار آن هنري بريگز (1561-1631) استاده هندسه در كالج گرشام در لندن و بعداً استاد در آكسفورد به ادينبورو سفر كرد تا مراتب احترام خود را به مخترع كبير لگاريتم ها ادامه كند. در ضمن اين ملاقات بود كه نپر و بريگنير به اين توافق رسيدند كه جداوال در چنان تبديل كه لگاريتم 1 ماه و لگاريتم 10 هر توان مناسبي از 10 مي شود مفيدتر خواهد بود بدين ترتيب لگاريتم امروزي بريگزي يا متعارفي تكوين يافت اين گونه لگاريتم ها، كه اساساً لگاريتم هاي در مبناي 10 مي باشند كارآيي برتر خود را در محاسبات عددي مرهون اين حقيقت هستند كه دستگاه شمار مانيز در مبناي 10 است. براي دستگاه شماري كه پايه ديگري مانند  b داشته باشد، البته، به منظور محاسبات عددي مناسبتر خواهد بود كه جداول لگاريتم نيز در مبناي b باشند.

بريگز همه ي توان خود را در راه ساختن جدولي بر پاية طرح جديد وقف كرد و در 1624 حساب لگاريتم خود را كه شامل يك جدول 14 رقمي از اعداد از 1 تا 20000 و از 90000 تا 100000 بود منتشر كرد. مشكاف از 20000 تا 50000 بعداً به كمك آدريان ولاك (1600-1666) كتاب فروش و ناشر هلندي پر شد در 1620 ادمونه گانته (1581-1626) يكي از همكاران بريگز، يك جدول هفت رقمي از لگاريتم هاي متعارفي سينوس و تانژانت زوايا براي فواصل قوسي يك دقيقه منتشر نمود. گانته بود كه واژه هاي كسينوس و كتانژانت را ابداع كرد، مهندسان وي را به خاطر «زنجير گانته» شناختند. 

بريگز و ولاك چهار جدول بنيادي لگاريتم ها را منتشر نمودند كه تنها در همين اواخر وقتي، در بين 1924 و 1949 جداوال جامع 20 رقمي در انگلستان به عنوان جزئي از جشن سيصدمين سال كشف لگاريتم محاسبه شد كنار گذاشته شدند.

كلمة لگاريتم به معني «عدد نسبت» است و توسط نپر، بعد از آنكه بدواً از اصطلاح عدد ساختگي استفاده كرد اتخاذ گرديد. بريگز كلمه ي مانيتس را كه كلمه لاتيني از ريشه اتروسكي است، معمول كرد كه در اصل به معني «جمع» يا «پارسنگ» بوده و در ولاك به كار افت عجيب است كه در جدول اولية لگاريتم هاي متعارفي رسم اين بود كه مانيتس را نيز مانند مفسر چاپ كنند، و از قرن هجدهم به بعد هم بود كه رسم فعلي چاپ، مانتيسها به تنهايي، متداول گرديد.